前两天逛github看到一道很简单的面试题——如何不用库函数快速求出$\sqrt2$的值，精确到小数点后10位！ 第一反应这不很简单嘛，大学数据结构课讲二分查找的时候老师还用这个做过示例。但转念一想，能作为大厂的面试题，背后绝对没有那么简单，于是我google了下，结果找到了更巧妙的数学方法，甚至发现了一件奇闻趣事…… 一道简简单单的面试题，不仅能考察到候选人的编程能力，还能间接考察到候选人的数学素养，难怪很多大厂都会问这个。。。
回到正题，求$\sqrt2$究竟有多少种解法，我们由简入难一步步来看下我们是如何让计算机更快计算sqrt的。
二分查找
首先是稍微具备点编程和数据结构基础的人都能想到的二分查找，这里我不再具体讲解思路，但还是要编码测试下，主要是测试需要迭代多少次才能到达小数点后10位的精度。
public class BSearch {
static double sqrt2 = 1.4142135624;
static double delta = 0.0000000001;
public static void main(String[] args) {
double l = 1.0;
double r = 2.0;
int cnt = 0;
while (l < r) {
double mid = (l + r) / 2;
if (Math.abs(l - sqrt2) < delta) {
break;
}
if (mid * mid > 2.0) {
r = mid;
} else {
l = mid;
}
cnt++;
}
System.out.println("经过" + cnt + "次迭代后得" + l);
}
}经过34次迭代后得1.4142135623260401记住这个迭代次数34。
牛顿迭代
数学学得好的同学肯定知道牛顿迭代法，它是求解线性方程近似解的方法，因为有些方程无法快速求出精确解，只能尽可能去逼近。
回到我们求解$\sqrt2$上，我们可以构造出多项式方程f(x)，使得$f(x)=0$的一个正根是$\sqrt2$，最简单的就是$f(x) = x^2 - 2= 0$，然后我们就可以运用牛顿迭代求解它的根了。
$$
x{1}=x{0}-\frac{f\left(x{0}\right)}{f^{\prime}\left(x{0}\right)} = x_0 - \frac{x_0^2-2}{2x_0}
$$
为了更直观些，我们图例展示下迭代两次的过程。
上图中黑色的曲线是$f(x)=x^2-2$，我们最终想要的是它和x轴的交点X，也就是$\sqrt2$的具体值。A点的坐标是(2,2)，绿色的线是$f(x)=x^2-2$在点A处的切线，洋红色线是过A点的垂线。我们选的牛顿迭代初始点就是B，设B点的横坐标是$x0$，按求导的定义，AC点的斜率就是$f^{\prime}(x)$，AB的长度就是$f(x)$，知道了AB的长度，AC的斜率，BC的长度也就很好求了，就是$\frac{f\left(x{0}\right)}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}$，所以C点的横坐标就是$x_1 = x0 - \frac{f\left(x{0}\right)}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}$。
怎么样，迭代一次之后就很逼近我们真正想要的X了，现在我们在C点把同样的事情再做一遍，如下图。
再一次迭代后得到了点E，点E比点C更加逼近X点，我把上图中点E局部放大如下。
可以看到点E已经相当接近$\sqrt2$了，这只是两次迭代的效果，写个代码来看下到底需要迭代多少次就能达到精确到小数点后10位的精度。
具体代码如下，这里我取x的初始值为2.0 因为$\sqrt2$不可能大于2，我们知道这点就可以取个近似值，减少迭代次数。
public class NewtonMethod {
static double sqrt2 = 1.4142135624;
static double delta = 0.0000000001;
public static void main(String[] args) {
double x = 2.0;
int cnt = 0;
while (Math.abs(x - sqrt2) > delta){
x = x - (x*x - 2)/(2*x);
cnt++;
}
System.out.println("经过" + cnt + "次迭代后得" + x);
}
}经过4次迭代后得1.4142135623746899 只需要4次迭代就能达到二分34次迭代的效果了，确实明显快多了。这里再补充一点，实际上x的初始值可以取任意正数，但是会影响到性能，我尝试取1亿，最终需要30次迭代，不过还是比二分快。
为了客观对比下牛顿迭代和二分的性能差异，这里我还是用JMH压测下，结果如下，压测结果仅供参考。
Benchmark Mode Cnt Score Error Units
Test.NewtonMethod thrpt 2 96292165.813 ops/s
Test.bSearch thrpt 2 11856462.059 ops/s到这里文章进度条只有一半，你是不是觉得我下面要讲比牛顿迭代更好更快的方法？实际我目前没有找到比牛顿迭代又好又快的算法了，但是我找到一个相关的故事，以及它引出的以牺牲精度换取速度求$\frac{1}{\sqrt{x}}$的神奇算法，当然它也可以用来求$\sqrt2$。
神奇的数字0x5f3759df
这首先要从一个诡异的常数说起—— 0x5f3759df，提到这个常数还得提到一个游戏，Quake-III Arena (雷神之锤3)。
这是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错，而且即使计算机配置低，也能极其流畅地运行。这款游戏后来在GPL协议下开源，github地址 https://github.com/id-Software/Quake-III-Arena，大家从中发现其中一个能够快速求解$\frac{1}{\sqrt{x}}$的函数，代码如下。
float InvSqrt(float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x;
i = 0x5f3759df - (i >> 1);
x = *(float*)&i;
x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
return x;
}看完代码的我
其实这个算法就是牛顿迭代单次的近似解法，具体证明请看卡马克快速平方根倒数算法，它能以几十倍的速度优势秒杀其他算法，要知道几十年前的CPU速度可远不及现在的，速度就是绝对优势。这段代码看起来神奇，它的来源也很离奇。
开始大家都以为这个算法是游戏的开发者Carmack发现的，但后来调查发现，该算法在这之前就在计算机图形学的硬件与软件领域中有所应用，如SGI和3dfx就曾在产品中应用此算法，所以至今都无人知晓这个算法是谁发明的。
但传奇并没有结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。Lomont为此写下一篇论文 Fast Inverse Square Root。 From 百度百科
来看看这个算法的实际运行效果怎么样吧，下面是我修改后的java代码，上面的C代码中有些操作java中并不支持，所以需要做些改动。
public class CarmackMethod {
public static void main(String[] args) {
float x = 2.0f;
float xhalf = 0.5f*x;
// int i = *(int*)&x;
int i= Float.floatToRawIntBits(x);
i = 0x5f3759df - (i >> 1);
// x = *(float*)&i;
x = Float.intBitsToFloat(i);
x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
System.out.println(1.0/x);
}
}1.4145671304934657当然这里精度就不行了，只精确到了0.001。
这里我把上面3种算法的精度都降低到0.001然后用JMH做个不严格的性能测试。这里说不严格是因为我只做$\sqrt2$的测试，而且用的是java实现的，而且像是CarmackMethod的实现，可能因为java和c的运行机制的不同，性能会受很大影响，下面这个结果 仅供娱乐，看看就好。
Benchmark Mode Cnt Score Error Units
Test.CarmackMethod thrpt 2 111286742.330 ops/s
Test.bSearch thrpt 2 58705907.393 ops/s
Test.NewtonMethod thrpt 2 110232331.339 ops/s各种编程语言是如何实现sqrt?
上面说了3个解法，那你是不是也很好奇目前各种编程语言库函数里对sqrt是如何实现的？ 我也很好奇，于是我们帮你们翻了jdk源码，发现它根本就不需要自己实现sqrt，毕竟sqrt在计算机领域是有个比较常用的计算，所以主流的CPU架构都提供了对sqrt的硬件支持，只需要一条汇编指令就可以了，在x86架构下sqrt可以直接用下面这条汇编指令。
sqrtsd %1, %0" : "=x" (res) : "xm" (x)在Risc-v中可以可以用fsqrt.s或fsqrt.d指令，Rics-v中文手册
硬件可以在一个指令周期内完成一个数的开方，相比那些需要几十甚至成百上千个CPU指令实现的各种算法而言，这速度差异显而易见。 实际上上，现代CPU在多核心、流水线、多发射、超标量……等技术的加持下，普通家用CPU都可以做到每秒百亿次的浮点运算。
生活处处有惊喜，当我打开python math模块的源码时，没有发现浮点数的求根(估计也是直接用的CPU级指令)，但我发现了一个更骚的对64位整数求根的操作，所以这里再补充介绍一个python的近似求根算法。
python中的_approximate_isqrt()
下面这段代码可以返回输入值求根后的整数部分，但完全不知道是什么原理。
_approximate_isqrt(uint64_t n)
{
uint32_t u = 1U + (n >> 62);
u = (u << 1) + (n >> 59) / u;
u = (u << 3) + (n >> 53) / u;
u = (u << 7) + (n >> 41) / u;
return (u << 15) + (n >> 17) / u;
}源码中有注释，这段C代码可以翻译为以下python代码，不过我依旧看不懂。
def isqrt(n):
"""
Return the integer part of the square root of the input.
"""
n = operator.index(n)
if n < 0:
raise ValueError("isqrt() argument must be nonnegative")
if n == 0:
return 0
c = (n.bit_length() - 1) // 2
a = 1
d = 0
for s in reversed(range(c.bit_length())):
# Loop invariant: (a-1)**2 < (n >> 2*(c - d)) < (a+1)**2
e = d
d = c >> s
a = (a << d - e - 1) + (n >> 2*c - e - d + 1) // a
return a - (a*a > n)结语
这篇博客从立题到完成经历了好几天的时间，期间整理思路、编码、绘图、查阅资料、修改完善总累计耗时近8h。写作不易，如果文章对你有用欢迎素质三连(点赞、收藏加关注) 。
引用链接
[1] 牛顿迭代法: https://baike.baidu.com/item/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E8%BF%AD%E4%BB%A3%E6%B3%95/10887580?fr=aladdin
[2] 卡马克快速平方根倒数算法: http://jcf94.com/2016/01/14/2016-01-14-carmack/
[3] Fast Inverse Square Root: http://read.pudn.com/downloads203/sourcecode/game/955182/3D%20Geometry%20Tuts/FastInverseSqrt.pdf
[4] From 百度百科: https://baike.baidu.com/item/0x5f375a86/10449453?fr=aladdin
[5] 这条汇编指令: https://code.woboq.org/userspace/glibc/sysdeps/x86_64/fpu/e_sqrt.c.html
[6] Rics-v中文手册: http://crva.ict.ac.cn/documents/RISC-V-Reader- Chinese-v2p1.pdf
[7] python math模块: https://github.com/python/cpython/blob/master/Modules/mathmodule.c
