现在假设你负责一个广告公司的结算系统，你需要统计下月度点击收入，生成一个月度报告。假设有2000w个点击，每个点击平均1元，我们用小学数学计算就知道总收入是2000w。但是我们用计算机累加就会出问题了。如果我们用float存储数据，float可以表示的数据范围$-2^{128}$到 $2^{128}$，看起来绝对够啊！那让我们写个程序测试下。
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public static void main(String[] args) {
int N = 20000000;
float sum = 0.0;
float price = 1.0f;
for (int i = 0; i < N; i++) {
sum += price;
}
System.out.println("sum is " + sum);
}
1.6777216E7
What？输出应该是2000w的，但为什么少了3222784.0，如果在生成环境中，这意味着我们的钱凭空消失了3222784.0！why？
这其实是float累加过程中精度丢失导致的，要理解这点我们首先要理解什么是浮点数。首先我们了解数在计算机中是如何表示的，因为计算机只能理解0和1两个数，所以一切信息都是用二进制表示的。如何保存更多的信息就是计算机设计者面临的挑战。
在各个编程语言中的int都有4个字节32位，32位二进制最多有$2^{32}$种状态，也就是意味着最多能表示$2^{32}$个数，但这里还需要流出1位做为符号位来标识正负。所以能标识的最大数是2147483647(01111111111111111111111111111111)，最小数是-2147483647(11111111111111111111111111111111)，这个时候其实0有两个，一个+0，一个-0，两个表示的意义其实是一样的，我们干脆用-0代表最小数-2147483648。所以最终int的表示范围就是-2147483648~2147483647了，这就是定点数，它只能用来表示整数。
如何表示小数？小数的特点是小数点前后的位数是不固定的，这个小数点是浮动的，这就是浮点数这个名词的由来。为了表示浮点数，我们可以把一个数拆分成两个部分，数值部分和指数部分，比如11.16可以表示为1116乘以$10^{-2}$ ，0.1表示为1乘以$10^{-1}$。没错，在计算机中也是这么做的，只不过用的是2进制而已。
float使用了4个字节来存储数据，总共32位，最高位作为符号位，最高2-9位作为指数位，最后的23位才作为有效数位。注意，23位之前有个1被省略掉了，所以他的有效位其实是24位，float所能表示的有效数值只有$2^{24}$，大概8位数，因此它不能标识超过8位的有效数字，否则会丢失精度，这就是浮点数美丽的表象。https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html 这里可以可视化float数值的二进制表示，方便你理解float。
让我们继续来看为什么上面的代码会少数据。这就得先理解浮点数的加法是怎么做的。当两个float数相加时，计算机首先会对齐两个数的指数位，向指数位比较大的一个靠拢，这时候比较小的float数的有效数位就要右移。如果其中一个的数的指数位太大，就有可能让指数位比较小的数的有效数一直右移，甚至变成0。
上面的代码一直+1，当sum大于16777216之后，1.0为了和sum的指数位对其，它的有效数会右移动24次，上面说到float的有效数只有24位，所以它会完全变成0。所以上面sum大于16777216之后它再加1也相当于+0。
如果我们换做double类型呢？这次没有出现精度损失。但并不意外这就不会出现精度损失，double比float有更多的精确位，但也不是无限的，在数据非常大时也会丢失精度。在金融行业，即便是非常非常小的精度损失，也会让客户对你失去信任，所以要保证100%的精度。
如何保证？ 有个叫Kahan Summation算法，可以保证不会出现精度损失，代码如下，测试确实不会损失精度。
public class KahanSummation {
public static void main(String[] args) {
int N = 20000000;
float sum = 0.0f;
float c = 0.0f;
for (int i = 0; i < N; i++) {
float x = 1.0f;
float y = x - c;
float t = sum + y;
c = (t-sum)-y;
sum = t;
}
System.out.println("sum is " + sum);
}
}
这个算法虽然好用，但看起来很复杂，所以在实际使用中很少使用。因为有更简单的方法。当然，从古至今解决问题最好最彻底的方式就是避免问题的发生。我们直接不使用浮点型，而是转而用long。用最小的货币单位分来计量，long的取值范围是-9223372036854775808～9223372036854775807，绝对够用了。
本文参考了大量极客时间《深入理解计算机组成原理》的内容，所以贴个广告，有兴趣可以一起学习。
